Question

20．与（a-b）（b-c）（c-a）相等的行列式是（　　）

• A． $|\begin{array}{l}{1}&{1}&{1}\\{a}&{b}&{c}\\{bc}&{ca}&{ab}\end{array}|$
• B． $|\begin{array}{l}{{a}^{2}}&{a}&{1}\\{{b}^{2}}&{b}&{1}\\{{c}^{2}}&{c}&{1}\end{array}|$
• C． $|\begin{array}{l}{bc}&{ca}&{ab}\\{a}&{b}&{c}\\{1}&{1}&{1}\end{array}|$
• D． $|\begin{array}{l}{{a}^{2}}&{{b}^{2}}&{{c}^{2}}\\{a}&{b}&{c}\\{1}&{1}&{1}\end{array}|$

Answer 1

分析 根据行列式的定义直接计算即可．

解答 解：（a-b）（b-c）（c-a）=ab²+bc²+ca²-a²b-b²c-c²a，
$|\begin{array}{l}{1}&{1}&{1}\\{a}&{b}&{c}\\{bc}&{ca}&{ab}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{b}&{c}\\{ca}&{ab}\end{array}|$-$|\begin{array}{l}{a}&{c}\\{bc}&{ab}\end{array}|$+$|\begin{array}{l}{a}&{b}\\{bc}&{ca}\end{array}|$
=ab²-ac²-a²b+bc²+a²c-b²c，故A正确；
$|\begin{array}{l}{{a}^{2}}&{a}&{1}\\{{b}^{2}}&{b}&{1}\\{{c}^{2}}&{c}&{1}\end{array}|$=$|\begin{array}{l}{{b}^{2}}&{b}\\{{c}^{2}}&{c}\end{array}|$-$|\begin{array}{l}{{a}^{2}}&{a}\\{{c}^{2}}&{c}\end{array}|$+$|\begin{array}{l}{{a}^{2}}&{a}\\{{b}^{2}}&{b}\end{array}|$
b²c-bc²-a²c+ac²+a²b-ab²，故B不正确；
∵将A选项中的矩阵第1、3互换就是C选项中的矩阵，
∴行列式的值相反，故C不正确；
∵将B选项中矩阵的行列互换就是D选项中的矩阵，
∴行列式的值不变，故D不正确；
故选：A．

点评 本题考查行列式的计算，注意解题方法的积累，属于基础题．