题目内容

对于在区间 [ m,n ] 上有意义的两个函数,如果对任意,均有,则称在 [ m,n ] 上是友好的,否则称在 [ m,n ]是不友好的.现有两个函数(a > 0且),给定区间
(1)若在给定区间上都有意义,求a的取值范围;
(2)讨论在给定区间上是否友好.
(1) ;(2) 当时,上是友好的,当时,上是不友好的

试题分析:(1)函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上有意义,必须满足(2)假设存在实数a,使得函数f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“友好”的,
则|f(x)-g(x)|=|loga(x2-4ax+3a2)|⇒|loga(x2-4ax+3a2)|≤1即-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1(*),因为a∈(0,1)⇒2a∈(0,2),而[a+2,a+3]在x=2a的右侧,
所以函数g(x)=loga(x2-4ax+3a2)在区间[a+2,a+3]上为减函数,从而,于是不等式(*)成立的充要条件是,因此,当时,上是友好的; 当时,上是不友好的
点评:此类问题要求学生熟练掌握函数单调性的判断与证明,以及新定义的运用,属于中档题.
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