Question

（本小题满分16分）已知F₁（－c,0）, F₂（c,0） (c＞0)是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，圆M的方程是．
（1）若P是圆M上的任意一点，求证：是定值；
（2）若椭圆经过圆上一点Q，且cos∠F₁QF₂=，求椭圆的离心率；
（3）在（2）的条件下，若|OQ|=，求椭圆的方程．

Answer 1

(1) 3  (Ⅱ)（3）

（1）证明：设P（x,y）是圆上的任意一点，
= =3∴="3   " -5分
（2）解：在△F₁QF₂中，F₁F₂=2c，Q在圆上，设|QF₂|=x，则|QF₁|=3x，椭圆半长轴长为2x，
4c²=x²＋9x²－6x²×，5c²=8x²，e²=，e=．----------10分
（3）由（2）知，x=，即|QF₂|=，则|QF₁|=3

，由于|OQ|=，∴c=2，进一步由e= =得到a²=10，b²=6，所求椭圆方程是．           ------------16分
点评：本题考查椭圆的性质、定义、圆的有关性质及其运算，解三角形，较难题