题目内容
【题目】【2017届广西陆川县中学高三文上学期二模】已知函数.
(I)求函数的单调区间;
(II)若在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(III)在(II)的条件下,对任意的,求证:
.
【答案】(I)当时,
在
上单调递增,无单调递减区间,当
时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;(II)
;(III)证明见解析.
【解析】
试题分析:(I)利用时
为单调增函数,
时
为单调减函数这一性质来分情况讨论题中
单调区间问题;(II)根据函数单调性与最值,若
在
上恒成立,则函数的最大值小于或等于零.当
时,
在
上单调递增,
,说明
时
,不合题意舍去.当
时,
的最大值小于零.但
在
上恒成立,所以
只能等于零.令
即可求得答案;(III)首先将
的表达式表达出来,化简转化为
的形式,再根据(II)的结论得到
,后逐步化简
,原命题得证.
试题解析:(I),
当时,
恒成立,则函数
在
上单调递增,无单调递减区间;
当时,由
,得
,由
,
得,此时
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(II)由(I)知:当时,
在
上递增,
,显然不成立;
当时,
,只需
即可,
令,则
,
在
上单调递减,在
上单调递增.
.
对
恒成立,也就是
对
恒成立,
,解得
,
若
在
上恒成立,则
.
(III)证明:,
由(II)得在
上恒成立,即
,当且仅当
时取等号,
又由得
,所以有
,即
.
则,
则原不等式成立.
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| ||||
|
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提供的数据,写出日销售量
与时间
的一次函数关系式.
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每件的销售价格
日销售量)