题目内容
【题目】【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考数学(文)】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的极值点的个数;
(Ⅱ)若有两个极值点
,证明:
.
【答案】(Ⅰ)(ⅰ)时,仅有一个极值点;(ⅱ) 当时,
无极值点;
(ⅲ)当时,
有两个极值点.(Ⅱ)详见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求导数,再确定导函数零点情况,这需分类讨论:一次与二次的讨论,二次中有根与无根的讨论,两根情况分相等、一正一负、两不等正根,最后根据对应情况确定导函数符号变化规律,确定对应极值点个数;(Ⅱ)由(Ⅰ)先确定有两个极值点时,的取值范围,以及满足条件,再化简
为
的函数,最后根据导数确定对应函数单调性,根据单调性证明不等式.
试题解析:解:(Ⅰ)由得,
(ⅰ)时, ,
所以取得极小值,是的一个极小值点.
(ⅱ)时,,令,得
显然,,所以
,
在取得极小值,
有一个极小值点.
(ⅲ)时,时,即在
是减函数,无极值点.
当时,
,令,得
当和
时
,
时,
,所以
在取得极小值,在
取得极大值,所以
有两个极值点.
综上可知:(ⅰ)时,仅有一个极值点;
(ⅱ) 当时,
无极值点;
(ⅲ)当时,
有两个极值点.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当时,
有极小值点和极大值点
,且
是方程
的两根,所以
,
,
设,
,
所以时,
是减函数,,则
所以得证.
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练习册系列答案
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销售价( | ||||
日销售量( | ||||
日销售额( | ||||
日销售利润( |
(1)在下面给出的直角坐标系中,根据表中的数据描出实数对的对应点,并写出
与
的一个函数关系式;
(2)请把表中的空格里的数据填上;
(3)根据表中的数据求与
的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大日销售利润?