题目内容
(本小题满分12分)已知定义在正实数集上的函数,,其中.设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同.
(1)用表示,并求的最大值;
(2)求证:().
(1)用表示,并求的最大值;
(2)求证:().
(1)设与在公共点处的切线相同.
,,由题意,.
即由
得:,或(舍去).
即有.
令,则.于是
当,即时,;
当,即时,.
故在为增函数,在为减函数,
于是在的最大值为.(2)
设,
则.
故在为减函数,在为增函数,
于是函数在上的最小值是.
故当时,有,即当时,
19.经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,
故交点轨迹E的方程为
(2)设,则由知,.
将代入得,
即,
若与椭圆相切,则,即;
同理若与椭圆相切,则.
由与与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况:
[1]直线与都与椭圆相切,即,且,消去得,即,
从而,即;
[2]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;
[3]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;
[4] 直线过点,而直线过点,此时
综上所述,h的值为
,,由题意,.
即由
得:,或(舍去).
即有.
令,则.于是
当,即时,;
当,即时,.
故在为增函数,在为减函数,
于是在的最大值为.(2)
设,
则.
故在为减函数,在为增函数,
于是函数在上的最小值是.
故当时,有,即当时,
19.经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,
故交点轨迹E的方程为
(2)设,则由知,.
将代入得,
即,
若与椭圆相切,则,即;
同理若与椭圆相切,则.
由与与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况:
[1]直线与都与椭圆相切,即,且,消去得,即,
从而,即;
[2]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;
[3]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;
[4] 直线过点,而直线过点,此时
综上所述,h的值为
略
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