题目内容

(本小题满分12分)已知定义在正实数集上的函数,其中.设两曲线有公共点,且在该点处的切线相同.
(1)用表示,并求的最大值;
(2)求证:).
(1)设在公共点处的切线相同.
,由题意

得:,或(舍去).        
即有
,则.于是
,即时,
,即时,
为增函数,为减函数,
于是的最大值为.(2)


为减函数,在为增函数,
于是函数上的最小值是
故当时,有,即当时,
19.经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,
故交点轨迹E的方程为
(2)设,则由知,.
代入

与椭圆相切,则,即;
同理若与椭圆相切,则.
与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况:
[1]直线都与椭圆相切,即,且,消去,即
从而,即;
[2]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;
[3]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;
[4] 直线过点,而直线过点,此时
综上所述,h的值为
练习册系列答案
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