Question

18．如图，已知抛物线C₁：x²=2py的焦点在抛物线C₂：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{4}$上．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过抛物线C₁上的动点P作抛物线C₂的两条切线PM、PN，切点为M、N．若PM、PN的斜率乘积为m，且m∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$]，求|OP|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）写出C₁的焦点为F（0，$\frac{p}{2}$），代入抛物线C₂方程即可求得p值，从而可得抛物线C₁的方程及其准线方程；
（Ⅱ）任取点P（t，t²），设过点P的C₂的切线方程为y-t²=k（x-t）．联立切线方程与抛物线C₂的方程，消掉y得x的二次方程，由相切得△=0，整理为关于k的二次方程，设PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，由韦达定理可用t表示出m，根据m范围可得t²范围，由两点距离公式可得|OP|的范围．

解答 解：（Ⅰ）C₁的焦点为F（0，$\frac{p}{2}$），所以$\frac{p}{2}$=0+$\frac{1}{4}$，p=$\frac{1}{2}$．
故C₁的方程为x²=y，其准线方程为y=-$\frac{1}{4}$．…（4分）
（Ⅱ）任取点P（t，t²），设过点P的C₂的切线方程为y-t²=k（x-t）．…（5分）
代入抛物线方程，得2x²-4kx+4tk-4t²+1=0．…（6分）
由△=（2k）²-8（4tk-4t²+1）=0，化简得2k²-4tk+4t²-1=0，
记PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，则m=k₁k₂=2t²-$\frac{1}{2}$，
因为m∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$]，所以t²∈[1，2]…（10分）
所以|OP|²=t²+t⁴=（t²+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$∈[2，6]，
所以|OP|∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．…（12分）

点评 本题考查抛物线方程、直线方程及直线与抛物线的位置关系，本题中P点坐标设法运用了抛物线的参数方程，简化了运算，给解决问题提供了方便．