题目内容

10.如图,在多面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,BA⊥AD,FE∥AD∥BC,M为CE的中点,EF=FA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1.
(1)求证:平面AMD⊥平面CDE;
(2)求二面角A-CD-E的余弦值.

分析 (1)取AD中点G,连结CG、GE、GM,通过EC⊥AG、EC⊥MG,以及线面垂直、面面垂直的判定定理即得结论;
(2)取CD中点H,连结GH,则∠EHG即为二面角A-CD-E的平面角,在Rt△EGH中计算即可.

解答 (1)证明:取AD中点G,连结CG、GE、GM,
由题易知:EC⊥AG,△CEG为等腰直角三角形,
∵M为CE的中点,∴EC⊥MG,
∴EC⊥平面AGM,
∴平面AMD⊥平面CDE;
(2)解:∵EF=FA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1,
∴EC=CD=DE=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$,
取CD中点H,连结GH,
则∠EHG即为二面角A-CD-E的平面角,
∵GH=$\frac{CG•DG}{CD}$=$\frac{1×1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,EH=CE•$sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
∴在Rt△EGH中,cos∠EHG=$\frac{GH}{EH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
即二面角A-CD-E的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题考查空间中线面平行的判定,考查二面角的三角函数值,注意解题方法的积累,属于中档题.

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