题目内容

1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{12}$,kπ+$\frac{5π}{12}]$(k∈Z),则函数f(x)在区间$[0,\frac{π}{2}]$的取值范围是(  )
A.$[-\frac{{\sqrt{3}}}{2},1]$B.$[-\frac{1}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$C.$[-\frac{{\sqrt{3}}}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$D.$[-\frac{1}{2},1]$

分析 由条件利用正弦函数的周期性、单调性求出ω、φ的值,再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)在区间$[0,\frac{π}{2}]$上的取值范围.

解答 解:由函数f(x)=sin(ωx+φ)的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{12}$,kπ+$\frac{5π}{12}]$(k∈Z),可得函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=2($\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{12}$),求得ω=2.
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,求得增区间为[kπ-$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$,kπ+$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$],k∈z.
∴-$\frac{π}{12}$=-$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$,且$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$,求得φ=-$\frac{π}{3}$,故函数f(x)=sin(2x-$\frac{π}{3}$).
在区间$[0,\frac{π}{2}]$上,2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$],sin(2x-$\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
故选:A.

点评 本题主要正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域,属于基础题.

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