Question

8．求下列函数的值域．
（1）y=4x-5+$\sqrt{2x-3}$；
（2）y=$\frac{3x}{{x}^{2}+4}$．

Answer 1

分析 （1）根据2x-3≥0便可得出4x-5和$\sqrt{2x-3}$的范围，从而得出y的范围，即得出该函数的值域；
（2）可将原函数整理成：yx²-3x+4y=0，看成关于x的方程，方程有解，可看出需讨论y：y=0时容易得出方程有解；y≠0时，方程为关于x的一元二次方程，从而有判别式△≥0，解该不等式并合并y=0便可得出该函数的值域．

解答 解：（1）2x-3≥0；
∴$4x-5≥1，\sqrt{2x-3}≥0$；
∴y≥1；
∴该函数的值域为[1，+∞）；
（2）由原函数得，yx²+4y=3x；
∴yx²-3x+4y=0，看成关于x的方程，方程有解；
①y=0时，x=0，满足方程有解；
②y≠0时，则：△=9-16y²≥0；
∴$-\frac{3}{4}≤y≤\frac{3}{4}$；
∴该函数的值域为$[-\frac{3}{4}，\frac{3}{4}]$．

点评 考查函数值域的概念，根据不等式的性质求函数的值域，形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数值域的求法：整理成关于x的方程的形式，根据方程有解求值域．