题目内容

13.方程mx2-2(m+5)x+m+22=0的所有实根介于2与5之间(不包括2,5),求m的值.

分析 由条件利用二次函数的性质、函数零点的判定定理,分类讨论求得m的范围.

解答 解:设f(x)=mx2-2(m+5)x+m+22,由题意可得,
当m>0时,$\left\{\begin{array}{l}{△={4(m+5)}^{2}-4m(m+22)≥0}\\{2<\frac{m+5}{m}<5}\\{f(2)=4m-4(m+5)+m+22>0}\\{f(5)=25m-10(m+5)+m+22>0}\end{array}\right.$,求得$\frac{7}{4}$<m≤$\frac{25}{12}$.
当m<0时,由$\left\{\begin{array}{l}{△={4(m+5)}^{2}-4m(m+22)≥0}\\{2<\frac{m+5}{m}<5}\\{f(2)=4m-4m(m+5)+m+22<0}\\{f(5)=25m-10m(m+5)+m+22<0}\end{array}\right.$,求得m无解.
当m=0时,方程即-10x+22=0,满足条件.
综上可得,$\frac{7}{4}$<m≤$\frac{25}{4}$,或m=0.

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.

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