Question

18．设抛物线的焦点为F、顶点为O、准线与对称轴的交点为K，分别过F、O、K的三条平行直线被抛物线所截得的弦长依次为a，b，c，则（　　）

• A． a²+c²=2b²
• B． ac=b²
• C． a+c=2b
• D． ac=2b²

Answer 1

分析 不妨设抛物线方程为y²=4x，则点F的坐标为（1，0），点O坐标为（0，0），点K的坐标为（-1，0），过F、O、K的平行线方程可分别设为x=my+1，x=my，x=my-1，结合韦达定理的推论2，分别求出a，b，c的大小，可得答案．

解答 解：不妨设抛物线方程为y²=4x，
则点F的坐标为（1，0），点O坐标为（0，0），点K的坐标为（-1，0），
过F、O、K的平行线方程可分别设为x=my+1，x=my，x=my-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=4x\\ x=my+1\end{array}\right.$消去x得到y²-4my-4=0，
故a=$4\sqrt{{m}^{2}+1}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$，
同理可求得b=4|m|•$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$，c=$4\sqrt{{m}^{2}-1}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$，
所以a²+c²=2b²，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，韦达定理的推论2--弦长公式，难度中档．