题目内容

4.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为$\sqrt{2}$,直线l与双曲线C交于A,B两点,线段AB中点M在第一象限,并且在抛物线y2=2px(p>0)上,且M到抛物线焦点的距离为p,则直线l的斜率为(  )
A.2B.$\frac{3}{2}$C.1D.$\frac{1}{2}$

分析 利用抛物线的定义,确定M的坐标,利用点差法将线段AB中点M的坐标代入,即可求得结论.

解答 解:∵M在抛物线y2=2px(p>0)上,且M到抛物线焦点的距离为p,
∴M的横坐标为$\frac{p}{2}$,∴M($\frac{p}{2}$,p)
设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则
代入两式相减,并将线段AB中点M的坐标代入,可得$\frac{p({x}_{1}-{x}_{2})}{{a}^{2}}-\frac{2p({y}_{1}-{y}_{2})}{{b}^{2}}$=0,
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{{e}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$.
故选:D.

点评 本题考查双曲线与抛物线的综合,考查点差法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

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