题目内容
13.已知f(x)=sin(2015x+$\frac{3π}{8}$)+sin(2015x-$\frac{π}{8}$)的最大值为A,若存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为( )A. | $\frac{\sqrt{2}π}{2015}$ | B. | $\frac{2\sqrt{2}π}{2015}$ | C. | $\frac{2π}{2015}$ | D. | $\frac{4π}{2015}$ |
分析 由条件利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的周期性和最值,求得 A|x1-x2|的最小值.
解答 解:f(x)=sin(2015x+$\frac{3π}{8}$)+sin(2015x-$\frac{π}{8}$)=
sin2015xcos$\frac{3π}{8}$+cos2015xsin$\frac{3π}{8}$+sin2015xcos$\frac{π}{8}$-cos2015xsin$\frac{π}{8}$
=sin2015xsin$\frac{π}{8}$+cos2015xcos$\frac{π}{8}$+sin2015xcos$\frac{π}{8}$-cos2015xsin$\frac{π}{8}$
=sin2015x(sin$\frac{π}{8}$+cos$\frac{π}{8}$)+cos2015x(cos$\frac{π}{8}$-sin$\frac{π}{8}$)
=sin2015x•($\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$+$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$)+cos2015x•($\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$-$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$)
=$\sqrt{2}$sin(2015x+α),
其中,cosα=$\frac{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}+\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}{\sqrt{2}}$,sinα=$\frac{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}{\sqrt{2}}$,
故f(x) 的最大值为A=$\sqrt{2}$.
由题意可得,|x1-x2|的最小值为$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2015}$,∴A|x1-x2|的最小值为$\frac{\sqrt{2}π}{2015}$,
故选:A.
点评 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性和最值,属于中档题.
A. | 2 | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | 1 | D. | $\frac{1}{2}$ |