Question

3．在平面直角坐标系中有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…对?n∈N⁺，点P_n在函数y=a^x（0＜a＜1）的图象上，又点A_n（n，0），P_n（a_n，b_n），A_n+1（n+1，0）构成等腰三角形，且|P_nA_n|=|P_nA_n+1|若对?n∈N⁺，以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，则a的取值范围是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1．

Answer 1

分析 由等腰三角形和中点坐标公式，可得a_n=n+$\frac{1}{2}$，b_n=${a}^{n+\frac{1}{2}}$，再由构成三角形的条件，结合指数函数的单调性，即可得到a+a²＞1，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：由点A_n（n，0），P_n（a_n，b_n），A_n+1（n+1，0）构成等腰三角形，
且|P_nA_n|=|P_nA_n+1|，
由中点坐标公式，可得A_nA_n+1的中点为（n+$\frac{1}{2}$，0），
即有a_n=n+$\frac{1}{2}$，b_n=${a}^{n+\frac{1}{2}}$，
由0＜a＜1，可得b_n＞b_n+1＞b_n+2，
以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，
只需b_n+1+b_n+2＞b_n，
即为${a}^{n+\frac{3}{2}}$+${a}^{n+\frac{5}{2}}$＞${a}^{n+\frac{1}{2}}$，
即有a+a²＞1，
解得a＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或a＜$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，
由0＜a＜1，
则有$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1．

点评 本题考查指数函数的性质和运用，主要考查指数函数的单调性的运用，同时考查构成三角形的条件，考查运算能力，属于中档题．