Question

14．已知{a_n}为等比数列，a₄+a₇=2，a₅a₆=-8，则a₁+a₁₀=-7．

Answer 1

分析 由等比数列的性质和韦达定理可得a₄，a₇，进而可求公比q³，代入等比数列的通项可求a₁，a₁₀，相加即可．

解答 解：由题意和等比数列的性质可得a₄a₇=a₅a₆=-8，
∴a₄和a₇为方程x²-2x-8=0的两实根，
解得方程可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=-2}\\{{a}_{7}=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=4}\\{{a}_{7}=-2}\end{array}\right.$
当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=-2}\\{{a}_{7}=4}\end{array}\right.$时，公比满足q³=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{4}}$=-2，
此时a₁=1，a₁₀=-8，∴a₁+a₁₀=-7；
当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=4}\\{{a}_{7}=-2}\end{array}\right.$时，公比满足q³=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{4}}$=-$\frac{1}{2}$，
此时a₁=-8，a₁₀=1，∴a₁+a₁₀=-7；
故答案为：-7．

点评 本题考查等比数列的性质及通项公式，属基础题．