题目内容

8.已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x)+f(2-x)=0;②f(x-2)=f(-x);③当x∈[-1,1]时,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}},x∈[-1,0]}\\{cos(\frac{π}{2}x),x∈(0,1]}\end{array}\right.$;则函数y=f(x)-($\frac{1}{2}$)|x|在区间[-3,3]上的零点个数为(  )
A.5B.6C.7D.8

分析 由①可得f(x)的图象关于点(1,0)对称,由②可得f(x)的图象关于直线x=-1对称,作出f(x)在[-1,1]的图象,再由对称性,作出f(x)在[-3,3]的图象,同时作出y=($\frac{1}{2}$)|x|在[-3,3]的图象,通过图象观察即可得到零点个数.

解答 解:由①f(x)+f(2-x)=0
可得f(x)的图象关于点(1,0)对称,
由②f(x-2)=f(-x)
可得f(x)的图象关于直线x=-1对称,
作出f(x)在[-1,1]的图象,
再由对称性,作出f(x)在[-3,3]的图象,
作出函数y=($\frac{1}{2}$)|x|在[-3,3]的图象,
由图象观察可得它们故有5个交点,
即有函数y=f(x)-($\frac{1}{2}$)|x|在区间[-3,3]上的零点个数为5.
故选A.

点评 本题考查函数的零点的个数判断,主要考查图象法的运用,同时考查函数的对称性,属于中档题.

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