Question

18．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．
（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（2）若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求n的分布列及数学期望；
（3）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．

Answer 1

分析 （1）求解第6小组的频率，既而得出此次测试总人数，第4、5、6组成绩均合格，运用频率求解即可．
（2）运用独立重复试验公式求解得出X=0，1，2，的概率即得出分布列，数学期望．
（3）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、T_n米，则基本事件满足的区域画图求解即可，运用几何概率求解甲比乙投掷远的概率．

解答 解：（1）第6小组的频率为1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴此次测试总人数为$\frac{7}{0.14}$=50（人）．
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）
即这次铅球测试成绩合格的人数为36
（2）X=0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为$\frac{14}{50}$=$\frac{7}{25}$，
∴X～B（2，$\frac{7}{25}$）．
P（X=0）=（$\frac{18}{25}$）²=$\frac{324}{625}$，
P（X=1）=C${\;}_{2}^{1}$（$\frac{7}{25}$）（$\frac{18}{25}$）=$\frac{252}{625}$，
P（X=2）=（$\frac{7}{25}$）²=$\frac{49}{625}$．
所求分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{324}{625}$	$\frac{252}{625}$	$\frac{49}{625}$

E（x）=2×$\frac{7}{25}$       两人中成绩不合格的人数的数学期望为$\frac{14}{25}$
（3）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、T_n米，则基本事件满足的区域为
${d_n}={（-1）^n}{c_n}{c_{n+1}}$，
事件A“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x＞y，如图所示．

∴由几何概型P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{1×2}$=$\frac{1}{16}$．
即甲比乙投掷远的概率为$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查了频率分布直方图，概率分布问题，阅读实际问题的能力，数中档题，关键判断概率的类型，掌握好公式．