Question

11．已知2a+b=1（a，b＞0），则2$\sqrt{ab}$≤4a²+b²-t恒成立时，实数t的取值范围是t≤$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由2a+b=1（a，b＞0），结合基本不等式可求ab的范围，而t≤-2$\sqrt{ab}$+4a²+b²恒成立，可转为求解-2$\sqrt{ab}$+4a²+b²最小值，结合基本不等式及二次函数的性质可求．

解答 解：∵2a+b=1（a，b＞0），
∴∴2a•b≤$（\frac{2a+b}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，即0＜ab$≤\frac{1}{8}$（当且仅当b=$\frac{1}{2}，a=\frac{1}{4}$去等号），
∵2$\sqrt{ab}$≤4a²+b²-t恒成立，
∴t≤-2$\sqrt{ab}$+4a²+b²恒成立，
令$\sqrt{ab}=m$，则m$∈（0，\frac{\sqrt{2}}{4}]$，
∴-2$\sqrt{ab}$+4a²+b²=$（2a+b）^{2}-4ab-2\sqrt{ab}$=1-4ab-2$\sqrt{ab}$=$-4{m}^{{\;}^{2}}$-2m+1
=$-4（m+\frac{1}{4}）^{2}+\frac{5}{4}$，m$∈（0，\frac{\sqrt{2}}{4}]$
结合二次函数的性质可知，当m=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，上式取得最小值$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$
∴$t≤\frac{1-\sqrt{2}}{2}$
故答案为：$t≤\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

点评 本题主要考查了基本不等式及二次函数在求解最值中的应用及恒成立问题与最值求解的相互转化问题．