题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中， 
， 
平面
， 
.
(1)设点
为
的中点，求证： 
平面
；
(2)线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成的角
的正弦值为
？若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析（2）
为
中点
【解析】试题分析：（1）先取
的中点
，利用三角形中位线性质得
，再根据线面平行判定定理得
平面
.根据计算，利用平几知识得
，再根据线面平行判定定理得
平面
.从而利用面面平行判定定理得平面
平面
.最后根据面面平行性质得
平面
. （2）一般利用空间直角坐标系研究线面角，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出平面法向量，根据向量数量积求出向量夹角，最后利用线面角与向量夹角关系列方程，解出点
坐标，确定其位置.
试题解析：(1)证明 取
的中点
，连接
，则
.
因为
平面
， 
平面
，所以
平面
.
在
中， 
，所以
.
而
，所以
.
因为
平面
， 
平面
，
所以
平面
.
又因为
，
所以平面
平面
.
因为
平面
，
所以
平面
.
（注：（1）问也可建系来证明）
(2)过
作
，交
于
，又
平面
知以
为原点， 
分别为
轴建系如图：
则
设平面PAC的法向量
，
由
有
取
设
，则
，
∴
∴
∴
,∴
．
∴线段
上存在一点
， 
为
中点
【题目】随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄（单位：岁） | [15,25） | [25,35） | [35,45） | [45,55） | [55,65） | [65,75） |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面
列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
（Ⅱ）若从年龄在[25,35）和[55,65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55,65）的概率.
参考数据如下：
附临界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的观测值： 
（其中
）
