题目内容
【题目】【山东省实验中学2017届高三第一次诊断】已知椭圆
：
的右焦点
，过点
且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于
，
两点，当直线
经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
为坐标原点，线段
上是否存在点
，使得
？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法，即列两个独立条件
，
解出
，
（2）先化简等式：
得
，其中
为线段
的中点为，即所以直线
为直线
的垂直平分线，直线的垂直平分线过点
，以下转化为中点弦问题，可利用韦达定理，也可利用点差法，得出t的函数解析式，根据对应参数（直线斜率或中点坐标）的取值范围确定实数
的取值范围
试题解析：（1）由题意知，又，所以，
，所以椭圆的方程为： ；
（2）设直线
的方程为：
，代入，得：
，设
，线段的中点为
，
则
，
由
得： ，
所以直线为直线的垂直平分线，
直线
的方程为：
，
令
得：
点的横坐标
，
因为
， 所以
，所以
.
所以线段
上存在点
使得
，其中.
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【题目】国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前
天参加抽奖活动的人数进行统计， 
表示开业第
天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
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经过进一步统计分析，发现
与
具有线性相关关系.
（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
；
（2）若该分店此次抽奖活动自开业始，持续
天，参加抽奖的每位顾客抽到一等奖（价值
元奖品）的概率为
，抽到二等奖（价值
元奖品）的概率为
，抽到三等奖（价值
元奖品）的概率为
.
试估计该分店在此次抽奖活动结束时送出多少元奖品？
参考公式： 
， 
.
