Question

15．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点$A（\frac{{\sqrt{15}}}{2}，\frac{1}{2}）$是以F₁F₂为直径的圆与双曲线的一交点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若P为该双曲线上任意一点，直线PF₁、PF₂分别交双曲线于M、N两点，$\overrightarrow{P{F_1}}={λ_1}\overrightarrow{{F_1}M}（{λ_1}≠-1）$，$\overrightarrow{P{F_2}}={λ_2}\overrightarrow{{F_2}N}（{λ_2}≠-1）$，请判断λ₁+λ₂是否为定值，若是，求出该定值；若不是请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意$\overrightarrow{{AF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{AF}_{2}}$，由此列方程求出c的值，再求|$\overrightarrow{{AF}_{1}}$|、|$\overrightarrow{{AF}_{2}}$|的值，得出a的值，
从而求出b的值，即可写出双曲线的方程；
（2）设点P（x₀，y₀），由$\overrightarrow{P{F_1}}={λ_1}\overrightarrow{{F_1}M}（{λ_1}≠-1）$求向量$\overrightarrow{OM}$的坐标，由$\overrightarrow{P{F_2}}={λ_2}\overrightarrow{{F_2}N}（{λ_2}≠-1）$求出$\overrightarrow{ON}$的坐标，
把M、N的坐标代入双曲线方程，消去x₀，y₀，经过化简，即可求出λ₁+λ₂是定值．

解答 解：（1）∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，
∴F₁（-c，0），F₂（c，0）；
又点$A（\frac{{\sqrt{15}}}{2}，\frac{1}{2}）$是以F₁F₂为直径的圆与双曲线的一交点，
∴$\overrightarrow{{AF}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{AF}_{2}}$，即$\overrightarrow{{AF}_{1}}$•$\overrightarrow{{AF}_{2}}$=0，
∴（-c-$\frac{\sqrt{15}}{2}$）（c-$\frac{\sqrt{15}}{2}$）+${（-\frac{1}{2}）}^{2}$=0，
解得c=2；
∴|$\overrightarrow{{AF}_{1}}$|=$\sqrt{{（-2-\frac{\sqrt{15}}{2}）}^{2}{+（-\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{{AF}_{2}}$|=$\sqrt{{（2-\frac{\sqrt{15}}{2}）}^{2}{+（-\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$；
∴|$\overrightarrow{{AF}_{1}}$|-|$\overrightarrow{{AF}_{2}}$|=2a=2$\sqrt{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$；
∴b=$\sqrt{{c}^{2}{-a}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{3}）}^{2}}$=1，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）设点P（x₀，y₀），
∵$\overrightarrow{P{F_1}}={λ_1}\overrightarrow{{F_1}M}（{λ_1}≠-1）$，
∴$\overrightarrow{{OF}_{1}}$-$\overrightarrow{OP}$=λ（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{{OF}_{1}}$），
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1{+λ}_{2}}{{λ}_{1}}$$\overrightarrow{{OF}_{1}}$-$\frac{1}{{λ}_{1}}$$\overrightarrow{OP}$=（-$\frac{2+{2λ}_{1}{+x}_{0}}{{λ}_{1}}$，-$\frac{{y}_{0}}{{λ}_{1}}$）；
同理，由$\overrightarrow{P{F_2}}={λ_2}\overrightarrow{{F_2}N}（{λ_2}≠-1）$，得
$\overrightarrow{ON}$=（$\frac{2+{2λ}_{2}{-x}_{0}}{{λ}_{2}}$，-$\frac{{y}_{0}}{{λ}_{2}}$）；
把M、N的坐标代入双曲线方程，得
$\left\{\begin{array}{l}{{（2+{2λ}_{1}{+x}_{0}）}^{2}-{{3y}_{0}}^{2}={{3λ}_{1}}^{2}}\\{{（2+{2λ}_{2}{-x}_{0}）}^{2}-{{3y}_{0}}^{2}={{3λ}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{4（1{+λ}_{1}）}^{2}+{4x}_{0}（1{+λ}_{1}）={{3λ}_{1}}^{2}-3}\\{{4（1{+λ}_{2}）}^{2}-{4x}_{0}（1{+λ}_{2}）={{3λ}_{2}}^{2}-3}\end{array}\right.$；
消去x₀，得
4${（1{+λ}_{1}）}^{2}$（1+λ₂）+4（1+λ₁）${（1{+λ}_{2}）}^{2}$=3（${{λ}_{1}}^{2}$-1）（1+λ₂）+3（${{λ}_{2}}^{2}$-1）（1+λ₁），
即4（1+λ₁）（1+λ₂）（λ₁+λ₂+2）=3（1+λ₁）（1+λ₂）（λ₁+λ₂-2）；
∵（1+λ₁）（1+λ₂）≠0，
∴4（λ₁+λ₂+2）=3（λ₁+λ₂-2），
解得λ₁+λ₂=-14；即λ₁+λ₂为定值．

点评 本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想；对数学思维的要求比较高，有一定的探索性，综合性强，难度大．