Question

16．求证：
（1）1+tan²α=$\frac{1}{co{s}^{2}α}$；
（2）tan²αsin²α=tan²α-sin²α；
（3）sin⁴α+cos⁴α=1-2sin²αcos²α；
（4）$\frac{1-2sinxcosx}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$=$\frac{1-tanx}{1+tanx}$．

Answer 1

分析 由三角函数公式选择从左往右，或从右往左证明可得．

解答 证明：（1）左边=1+tan²α=1+$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=$\frac{1}{co{s}^{2}α}$=右边；
（2）右边=tan²α-sin²α=$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$-sin²α=$\frac{si{n}^{2}α（1-co{s}^{2}α）}{co{s}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}αsi{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}$=tan²αsin²α=左边；
（3）左边=sin⁴α+cos⁴α+2sin²αcos²α-2sin²αcos²α=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α=1-2sin²αcos²α=右边；
（4）左边=$\frac{1-2sinxcosx}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$=$\frac{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x-2sinxcosx}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$=$\frac{（cosx-sinx）^{2}}{（cosx+sinx）（cosx-sinx）}$=$\frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}$=$\frac{\frac{cosx}{cosx}-\frac{sinx}{cosx}}{\frac{cosx}{cosx}+\frac{sinx}{cosx}}$=$\frac{1-tanx}{1+tanx}$=右边．

点评 本题考查三角函数恒等式的证明，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．