题目内容

【题目】已知圆及直线.

(1)证明:不论取什么实数,直线与圆C总相交;

(2)求直线被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.

【答案】(1)证明见解析;(2) .

【解析】

1)根据直线过的定点在圆内,得出直线与圆总相交.
2)作图分析出当直线与半径CM垂直与点M|AB|最短,利用勾股定理求出此时|AB|的长,再运用两直线垂直时斜率相乘等于1,求出此时直线的方程.

解:(1)证明:直线的方程可化为

由方程组,解得

所以直线过定点M(31)

C化为标准方程为,所以圆心坐标为(12),半径为5

因为定点M(31)到圆心(12)的距离为

所以定点M(31)在圆内,

故不论m取什么实数,过定点M(31)的直线与圆C总相交;

(2)设直线与圆交于AB两点,当直线与半径CM垂直与点M时,直线被截得的弦长|AB|最短,

此时

此时,所以直线AB的方程为,即.

故直线被圆C截得的弦长的最小值为,此时的直线的方程为.

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