题目内容

【题目】已知函数

(Ⅰ)设,曲线在点处的切线在轴上的截距为,求的最小值;

(Ⅱ)若只有一个零点,求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ)-8;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)利用导数几何意义先求出切线的方程,再根据切线方程求出,然后利用二次函数的单调性求最值;(Ⅱ)先对函数求导可得,再通过分类讨论研究函数的单调性,然后根据函数的极值的情况函数零点的关系得出的取值范围即可。

(Ⅰ)由已知可得

所以曲线在点处的切线方程为.

,得.

因为,所以上单调递增,

所以当时,.

(Ⅱ)①若,因为

所以上单调递增,在上单调递减,

所以的极小值为,极大值为.

因为,若只有一个零点,

.

,得.又,所以.

,得.

因为,所以,得

所以.

②若,则上是增函数.

因为,所以只有一个零点-1.

③若,因为

所以上单调递增,在上单调递减,

所以的极小值为,极大值为.

因为,若只有一个零点,

,即.

因为,所以,得.

综上,实数的取值范围为.

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