Question

4．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-4x+3，\;\;x≤0\\-{x^2}-2x+3，\;\;x＞0\end{array}\right.$，若关于x的不等式f（x+a）≥f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的最大值是-2．

Answer 1

分析 讨论分段函数各段的单调性，再由函数的连续性和单调性的定义，可得f（x）在R上递减，由条件可得x+a≤2a-x在[a，a+1]上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的最大值，解a的不等式，即可得到a的最大值．

解答 解：当x≤0时，f（x）=（x-2）²-1在（-∞，0]递减，
当x＞0时，f（x）=-（x+1）²+4在（0，+∞）递减，
且f（0）=3，即x＞0和x≤0的两段图象连续，
则f（x）在R上递减．
关于x的不等式f（x+a）≥f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，
即为x+a≤2a-x在[a，a+1]上恒成立，
即有a≥2x在[a，a+1]上恒成立，
即a≥2（a+1），
解得a≤-2．
则a的最大值为-2．
故答案为：-2．

点评 本题主要考查分段函数的单调性的运用，同时考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离，属于中档题和易错题．