题目内容

9．已知点P（x0，y0）为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上的任意一点（长轴的端点除外），F1、F2分别为左、右焦点，其中a，b为常数．

（1）若点P在椭圆的短轴端点位置时，△PF1F2为直角三角形，求椭圆的离心率．
（2）求证：直线$\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$为椭圆在点P处的切线方程；
（3）过椭圆的右准线上任意一点R作椭圆的两条切线，切点分别为S、T．请判断直线ST是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由．

分析 （1）当点P在椭圆的短轴端点位置时，△PF1F2为直角三角形，求出a，c关系式，得到离心率．
（2）点P（x0，y0）推出$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$．把（x0，y0）代入切线方程方程得$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，联列方程组$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\\{\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1}\end{array}}\right.$，求解即可．
（3）由题可设S（x1，y1）、T（x2，y2）、$R（\frac{a^2}{c}，{y_3}）$．得到切线SR的方程为$\frac{x_1}{a^2}x+\frac{y_1}{b^2}y=1$，
切线TR的方程为$\frac{x_2}{a^2}x+\frac{y_2}{b^2}y=1$，把$R（\frac{a^2}{c}，{y_3}）$分别代入两个方程化简，推出点S（x1，y1）、T（x2，y2）、F2（c，0）三点共线，然后求解定点坐标．

解答 解：记$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}$．
（1）当点P在椭圆的短轴端点位置时，△PF1F2为直角三角形，

则有$a=\sqrt{2}c$，得$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
所以，此时椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…4'
（2）点P（x0，y0）在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，得$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$．
把（x0，y0）代入方程$\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$，得$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，
所以点P（x0，y0）在直线$\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$上，…6'
联列方程组$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\\{\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1}\end{array}}\right.$，消去y可得${a^2}{x^2}-2{a^2}{x_0}x+{a^2}x_0^2=0$，
解得x=x0，即方程组只有唯一解．
所以，直线$\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$为椭圆在点P处的切线方程…10'
（3）由题可设S（x1，y1）、T（x2，y2）、$R（\frac{a^2}{c}，{y_3}）$．
由（2）结论可知，切线SR的方程为$\frac{x_1}{a^2}x+\frac{y_1}{b^2}y=1$①
切线TR的方程为$\frac{x_2}{a^2}x+\frac{y_2}{b^2}y=1$②…12'
把$R（\frac{a^2}{c}，{y_3}）$分别代入方程①、②，可得$\frac{x_1}{c}+\frac{y_1}{b^2}{y_3}=1$③

和$\frac{x_2}{c}+\frac{y_2}{b^2}{y_3}=1$④
由③、④两式，消去y3，可得（x1-c）y2=（x2-c）y1，
即有（x1-c）（y2-0）=（x2-c）（y1-0），
所以，点S（x1，y1）、T（x2，y2）、F2（c，0）三点共线，
所以，直线ST经过定点，定点坐标为${F_2}（\sqrt{{a^2}-{b^2}}，0）$…16'

点评 本题考查椭圆的简单性质，椭圆的切线方程的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．

练习册系列答案
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