Question

12．围建一个面积为360m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m．设利用旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．
（1）将y表示为x的函数，并写出此函数的定义域；
（2）若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

Answer 1

分析 （1）设矩形场地的宽为am，然后求出y的表达式，注明x＞0．
（2）利用基本不等式直接求出费用的最小值即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）设矩形场地的宽为am，则y=45x+180（x-2）+180×2a=225x+360a-360，…（2分）
∵ax=360
∴a=$\frac{360}{x}$，…（4分）
∴y=225x+$\frac{{360}^{2}}{x}-360$，x＞0；…（6分）
（2）∵x＞0
∴y=225x+$\frac{{360}^{2}}{x}-360$≥2$\sqrt{225×{360}^{2}}$-360=10440  …（9分）
当且仅当225x=$\frac{{360}^{2}}{x}$，即x=24时，等号成立．…（11分）
当x=24时，修建此矩形场地围墙的总费用的15%为：1566元，用于维修旧墙的费用为：1080元．
∵1080＜1566，…（13分）
∴当x=24m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．…（14分）

点评 本题考查函数的综合应用，基本不等式在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力．