题目内容

已知数列{an}的前五项依次是0,-
1
3
,-
1
2
,-
3
5
,-
2
3
.正数数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=
1
2
(bn+
n
bn
).
(Ⅰ)写出符合条件的数列{an}的一个通项公式;
(Ⅱ)求Sn的表达式;
(Ⅲ)在(I)、(II)的条件下,c1=2,当n≥2时,设cn=-
1
anS
2
n
,Tn是数列{cn}的前n项和,且Tn>logm(1-2m)恒成立,求实数m的取值范围.
考点:数列与不等式的综合,数列的求和
专题:等差数列与等比数列
分析:(I)观察数列{an}的前五项寻找规律,能求出an=
1-n
1+n
,(n∈N*)

(II)由已知条件推导出S1=1,Sn2-Sn-12=n,由此利用累加法能求出Sn=
n(n+1)
2

(III)由已知得c1=2,当n≥2时,cn=-
1
anSn2
=
2
n(n-1)
=2(
1
n-1
-
1
n
)
,由此利用裂项求和法能求出实数m的取值范围.
解答: 解:(I)∵数列{an}的前五项依次是0,-
1
3
,-
1
2
,-
3
5
,-
2
3

a1=
1-1
1+1
=0,
a2=
1-2
1+2
=-
1
3

a3=
1-3
1+3
=-
1
2

a4=
1-4
1+4
=-
3
5

a5=
1-5
1+5
=-
2
3

an=
1-n
1+n
,(n∈N*)
.…(2分)
(II)∵Sn=
1
2
(bn+
n
bn
)
,bn>0,
b1=
1
2
(b1+
1
b1
)
,解得b1=1,即S1=1.
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1
2Sn=Sn-Sn-1+
n
Sn-Sn-1
.Sn+Sn-1=
n
Sn-Sn-1

Sn2-Sn-12=n.…(5分)
Sn-12-Sn-22=n-1Sn-22-Sn-32=n-2,…,S22-S12=2
累加,得Sn2-S12=2+3+4+…+n
Sn2=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2

Sn=
n(n+1)
2
.…..(8分)
(III)在(I)、(II)的条件下,c1=2.
当n≥2时,cn=-
1
anSn2
=
2
n(n-1)
=2(
1
n-1
-
1
n
)

当n=1时,T1=c1=2;
当n≥2时,
Tn=c1+c2+c3+…+cn=2[1+(
1
1
-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…(
1
n-1
-
1
n
)]=2(2-
1
n
)
.….(10分)
∵Tn>logm(1-2m)恒成立,
即logm(1-2m)恒小于Tn的最小值.
显然,Tn的最小值在n=1时取得,且最小值为2.
故有logm(1-2m)<2.…..(12分)
0<m<1
1-2m>0
1-2m>m2
①或
m>1
1-2m>0
1-2m<m2

解①得,0<m<
2
-1
,不等式组②无解.
故实数m的取值范围是(0,
2
-1)
.…(14分)
点评:本题考查数列{an}的通项公式和前n项和公式的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意累加法和裂项求和法的合理运用.
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