Question

13．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线l：x=my-1经过点F₁与椭圆C交于点M，点M在x轴的上方，当m=0时，|MF₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点N是椭圆C上位于x轴上方的一点，MF₁∥NF₂，且$\frac{{S}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}}{{S}_{△N{F}_{1}{F}_{2}}}$=3，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直线恒过F₁（-1，0），即c=1，令x=-1，代入椭圆方程求得$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又a²-1=b²，解方程，即可得到椭圆方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），代入椭圆方程，结合直线的斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，
由$\frac{{S}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}}{{S}_{△N{F}_{1}{F}_{2}}}$=3，可得y₁=3y₂，联立方程，解得M，N的坐标，即可得到直线l的方程．

解答 解：（1）直线l：x=my-1经过（-1，0），
即有F₁（-1，0），即c=1，
当m=0时，x=-1，代入椭圆方程，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$，
即有$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又a²-1=b²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），
由题意可得，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$+y₂²=1，①
由MF₁∥NF₂，则${k}_{M{F}_{1}}$=k${\;}_{N{F}_{2}}$，
即有$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$，②
由$\frac{{S}_{△M{F}_{1}{F}_{2}}}{{S}_{△N{F}_{1}{F}_{2}}}$=3，
则$\frac{\frac{1}{2}•2•{y}_{1}}{\frac{1}{2}•2•{y}_{2}}$=3即y₁=3y₂③
由①②③解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{4}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
即有M（0，1），N（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
则m=$\frac{{x}_{1}+1}{{y}_{1}}$=1．
即有直线l：x-y+1=0．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，掌握点在椭圆上，满足题意方程，同时考查直线的斜率及直线方程的求法，属于中档题．