Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$+2=a_n（n≥2），a₁=-$\frac{2}{3}$，S_n-$\frac{n+1}{n+2}$．

Answer 1

分析 利用S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$及a₁=-$\frac{2}{3}$，写出前几项的值，进而猜测：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$，再用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$+2=a_n（n≥2），
∴S_n-1+2+$\frac{1}{{S}_{n}}$=0，即S_n=-$\frac{1}{2+{S}_{n-1}}$，
∵a₁=-$\frac{2}{3}$，即S₁=-$\frac{2}{3}$，
∴S₂=-$\frac{1}{2+{S}_{1}}$=-$\frac{1}{2-\frac{2}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，
S₃=-$\frac{1}{2+{S}_{2}}$=-$\frac{1}{2-\frac{3}{4}}$=-$\frac{4}{5}$，
猜测：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k时，有S_k=-$\frac{k+1}{k+2}$，
∵Sn+$\frac{1}{{S}_{n}}$+2=a_n（n≥2），
∴S_k+1=-$\frac{1}{2+{（S}_{k+1}-{a}_{k+1}）}$
=-$\frac{1}{2+{S}_{k}}$
=-$\frac{1}{2-\frac{k+1}{k+2}}$
=-$\frac{1}{\frac{k+3}{k+2}}$
=-$\frac{k+2}{k+3}$
=-$\frac{（k+1）+1}{（k+1）+2}$，
即当n=k+1时命题也成立；
由①、②可知：S_n=-$\frac{n+1}{n+2}$．
故答案为：-$\frac{n+1}{n+2}$．

点评 本题考查数列的前n项和，考查运算求解能力，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．