Question

1．设△ABC的三个内角分别为A，B，C．向量$\overrightarrow{m}$=（1，cos$\frac{C}{2}$）与$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{C}{2}$+cos$\frac{C}{2}$，$\frac{3}{2}$）共线．
（Ⅰ）求角A，B，C的大小；
（Ⅱ）设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acossC+c=2b，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$共线，可得$\frac{3}{2}$=cos$\frac{C}{2}$（$\sqrt{3}$sin$\frac{C}{2}$+cos$\frac{C}{2}$），解得sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（Ⅱ）由已知a+c=2b 根据余弦定理可得b（b-a）=0，b＞0，解得：b=a，$C=\frac{π}{3}$，可得△ABC为等边三角形．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$共线，
∴$\frac{3}{2}$=cos$\frac{C}{2}$（$\sqrt{3}$sin$\frac{C}{2}$+cos$\frac{C}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+$\frac{1}{2}$（1+cosC）=sin（C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．（3分）
∴解得：sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，
∵C∈（0，π），C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴解得C=$\frac{π}{3}$．   …（6分）
（Ⅱ）由已知a+c=2b 根据余弦定理可得：c²=a²+b²-ab，…（8分）
联立解得：b（b-a）=0，b＞0，
解得：b=a，$C=\frac{π}{3}$，
所以△ABC为等边三角形，…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基本知识的考查．