Question

17．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₁+a₂+a₃=64（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$），a${\;}_{{1}_{\;}}$+a₂=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）²，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₁+a₂+a₃=64（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$），a${\;}_{{1}_{\;}}$+a₂=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$）．
∴$\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}+{a}_{2}q$=64$（\frac{q}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}q}）$，$\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}=2（\frac{q}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}）$，
解得a₂=8，q=32．
∴a_n=8×32^n-2=2^5n-7．
（2）b_n=（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）²=4^5n-7+$\frac{1}{{4}^{5n-7}}$+2．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{\frac{1}{16}（1-{4}^{5n}）}{1-{4}^{5}}$+$\frac{16（1-\frac{1}{{4}^{5n}}）}{1-\frac{1}{{4}^{5}}}$+2n
=$\frac{1023}{16}（{4}^{5n}-1）$+$\frac{16384}{1023}（1-\frac{1}{{4}^{5n}}）$+2n．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．