Question

10．已知f（x）是定义在[-2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=x²+4x+1
（1）用定义证明f（x）在区间[0，2]上是单调递增函数；
（2）解不等式f（x）＞f（1-x）．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的定义进行证明即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．

解答 （1）证明：在区间[0，2]上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x₁²+4x₁+1-（x₂²+4x₂+1）=（x₁-x₂）（x₁+x₂+4），
∵0≤x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂+4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，2]上是增函数．（4分）
（2）由已知：f（|x|）＞f（|1-x|），
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{-2≤1-x≤2}\\{|x|＞|1-x|}\end{array}}\right.$
解得$\frac{1}{2}＜x≤2$
∴不等式的解集为$（{\frac{1}{2}，2}]$（8分）

点评 本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式的求解，利用定义法结合函数单调性的定义是解决本题的关键．