Question

9．已知函数f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1．
（1）若f（x+2）是偶函数，求a的值；
（2）设P=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，Q=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），且x₁≠x₂，试比较P与Q的大小；
（3）是否存在实数a∈[0，8]，使得函数f（x）在[0，4]上的最小值为7，若存在求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x+2）的解析式，根据函数的奇偶性，求出a的值即可；
（2）求出P-Q的表达式，变形整理成完全平方式，从而判断出结论；
（3）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，从而判断出函数的单调性，得到函数的最小值的表达式，解出a的值即可．

解答 解：（1）f（x+2）=（x+2）²+（4-2a）（x+2）+a²+1
=x²+（8-2a）x+a²-4a+13，
若f（x+2）是偶函数，则8-2a=0，解得：a=4；
（2）P-Q=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）-f （ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）
=$\frac{1}{2}$[x₁²+（4-2a）x₁+a²+1+x₂²+（4-2a）x₂+a²+1]-[$\frac{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$（4-2a）（x₁+x₂）+a²+1]
=$\frac{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}}{4}$＞0，
∴P＞Q．
（3）设存在这样的a，
由于0≤a≤8，∴-2≤a-2≤6，
①若-2≤a-2＜0，即0≤a＜2，则f（x）在[0，4]上为增函数，
∴f（0）=a²+1=7，解得：a=$\sqrt{3}$；
②若0≤a-2≤4，即2≤a≤6，
则f（a-2）=（a-2）²+（4-2a）（a-2）+a²+1=7，
化简得4a-11=0，解得 a=$\frac{11}{4}$，
综上，存在a=-1满足条件，
③若4＜a-2≤6，即6＜a≤8，则f（x）在[0，4]为减函数，
∴f（4）=16+4（4-2a）+a²+1=7，无解，
综上，存在实数a=$\sqrt{3}$或$\frac{11}{4}$∈[0，8]，使得函数f（x）在[0，4]上的最小值为7．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的奇偶性、单调性问题，考查分类讨论思想，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．