Question

11．已知函数$f（x）=|{1-\frac{1}{x}}|$，其中x＞0．
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；
（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；
（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论a，b的范围，确定a∈（0，1），b∈[1，+∞），去绝对值，得到等式，再由基本不等式，可得ab的范围；
（2）可假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，1）时，a，b∈（1，+∞）时，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在；
（3）由题意，由函数y=f （x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，结合（1）的结论知只能a，b∈（1，+∞），由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}，x≥1}\\{\frac{1}{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
若a，b∈（0，1），f（x）递减，f（a）＞f（b）不成立；
若a，b∈[1，+∞），f（x）递增，f（a）＜f（b）不成立；
若a∈（0，1），b∈[1，+∞），则f（a）=f（b）即为
$\frac{1}{a}$-1=1-$\frac{1}{b}$，即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2，
由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$＞2$\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}$$\sqrt{\frac{1}{ab}}$，
即有$\sqrt{\frac{1}{ab}}$＜1，解得ab＞1．
则ab的取值范围是（1，+∞）；
（2）不存在实数a，b满足条件．
假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，
而y≥0，x≠0，所以应有a＞0，
又f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}，x≥1}\\{\frac{1}{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
①当a，b∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上为减函数，
故有$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=b}\\{f（b）=a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}-1=b}\\{\frac{1}{b}-1=a}\end{array}\right.$，
由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．
②当a，b∈（1，+∞）时，f（x）在∈（1，+∞）上为增函数，
故有$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{a}=a}\\{1-\frac{1}{b}=b}\end{array}\right.$，
由此可得a，b是方程x²-x+1=0的根，但方程无实根，
所以此时实数a，b也不存在．
③当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，显然1∈[a，b]，
而f（1）=0∈[a，b]不可能，此时a，b也不存在．
综上可知，符合条件的实数a，b不存在；
（3）若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0）．
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0，
由（，1）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，
适合条件的实数a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞），
∵f（x）=1-$\frac{1}{x}$在∈（1，+∞）上为增函数
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=ma}\\{f（b）=mb}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{a}=ma}\\{1-\frac{1}{b}=mb}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的两个不等实根，且二实根均大于1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4m＞0}\\{m-1+1＞0}\\{\frac{1}{2m}＞1}\end{array}\right.$，解之得0＜m＜$\frac{1}{4}$，
故实数m的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题的考点是函数与方程的综合应用，考查了绝对值函数，函数的定义域、值域，构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，属于难题和易错题．