Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列．
（Ⅰ） 若c=2a，求角A、B、C的大小；
（Ⅱ） 当△ABC为锐角三角形时，求sinA+sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由等差数列的性质，结合内角和定理，可得B，再由正弦定理和两角差的正弦公式，计算化简可得A，C；
（Ⅱ）由（I）可得B=$\frac{π}{3}$，由△ABC为锐角三角形，可得$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，从而可得A的范围，则sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A），利用差角公式及辅助角公式化简可得$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），从而可得所求范围．

解答 解：（Ⅰ）A、B、C成等差数列．可得2B=A+C，
由A+B+C=π，可得B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{2π}{3}$-A．
由c=2a，可得sinC=2sinA，
即为sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2sinA，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=2sinA，
即sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosA，
tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得A=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）由A+B+C=π及B=$\frac{π}{3}$，得C=$\frac{2π}{3}$-A．
又△ABC为锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$．
则sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
又A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
∴sinA+sinC∈（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．
即有sinA+sinB+sinC的范围为（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，及特殊角的三角函数值，以及正弦函数的图象和性质的运用，属于中档题．