Question

1．某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过180000元，甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为1000元/分钟和400元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为3000元和2000元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少元？

Answer 1

分析 首先读懂题意，根据条件设出变量，建立二元一次不等式组即约束条件，列出目标函数，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤300}\\{1000x+400y≤180000}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
目标函数为z=3000x+2000y．
二元一次不等式组等价于$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤300}\\{5x+2y≤900}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图）．
作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．

平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=300}\\{5x+2y=900}\end{array}\right.$解得x=100，y=200．
∴点M的坐标为（100，200），
∴z_max=3000×100+2000×200=700000（元）．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是700000元．

点评 本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件以及目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．