Question

【题目】若函数fA（x）的定义域为A=[a，b），且fA（x）=（ + ﹣1）2﹣ +1，其中a，b为任意正实数，且a＜b．
（1）求函数fA（x）的最小值和最大值；
（2）若x1∈Ik=[k2 ， （k+1）2），x2∈Ik+1=[（k+1）2 ， （k+2）2），其中k是正整数，对一切正整数k，不等式 （x1）+ （x2））＜m都有解，求m的取值范围；
（3）若对任意x1 ， x2 ， x3∈A，都有 ， ， 为三边长构成三角形，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： 在 上单调递减，在 上递增

所以当 时，fA（x）有最小值，且最小值为 ；

当x=a时，fA（x）有最大值，且最大值为

（2）解：由已知不等式 都有解，即 ．

∵ ，由（1）知 ；

∵ ，

由（1）知 ；

∴ 对一切正整数k都成立

设 ，则g（k）在[1，+∞）上单调递减，

∴ ∴

（3）由已知，得： 恒成立

所以 ，

由（1）知： ，

令 ，则

解得

即

所以 ．

【解析】（1）根据函数单调性的性质进行求解即可．（2）根据不等式有解等价为 有解，结合（1）的结论进行判断求解．（3）根据三角形边长关系，结合不等式的行在进行求解即可．
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值即可以解答此题．