题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)如果对任意,
恒成立,求
的取值范围;
(2)若函数有两个零点,求
的取值范围;
(3)若函数的两个零点为
,证明:
【答案】(1)(2)
(3)见解析
【解析】试题分析:(1)分离参数后变为,对
恒成立,只需利用导数求
的最小值即可;(2)
有两个零点,等价于
与
有两个不同的交点,结合
图象可求出k的取值范围;(3)由(2)知:不妨设
,构造函数
,
,利用导数可证得即
,因为
,故
,再根据
的单调性,可证出结论.
试题解析:
(1)对
,
恒成立
,对
恒成立
令,则
,
易知: 在
上递减,在
上递增.
,
的取值范围是
(2)有两个零点,等价于
与
有两个不同的交点,
由 (1)知,
(3)证明:由(2)知:不妨设,
则,
,即
令,
,即
为增函数
,即
因为,故
由,得
由(1)知在
上递减,
故,即:
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