Question

【题目】如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点．将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE．
（1）求证：平面BDE⊥平面ADE
（2）求三棱锥 C﹣BDE的体积

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BE，∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，

E为DC的中点，DE=1，∴AE=BE=

∴AE2+BE2=2=AB2，∴BE⊥AE．

∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，BE平面ABCE

∴BE⊥平面ADE，又∵BE平面BDE，

∴平面BDE⊥平面ADE

（2）解：取AE中点F，连结DF，

∵AD=DE，∴DF⊥AE，

又∵平面ADE⊥平面ABCE，且交线为AE，DF平面ADE，

∴DF⊥平面BCE

在Rt△ADE中，AD=DE=1，AE= ，∴DF= ，

∴

又∵VC﹣BED=VD﹣BCE，

∴三棱锥C﹣BDE的体积

【解析】（1）连接BE，推民出BE⊥AE，从而BE⊥平面ADE，由此能证明平面BDE⊥平面ADE．（2）取AE中点F，连结DF，由VC﹣BED=VD﹣BCE ， 能求出三棱锥C﹣BDE的体积．