Question

12．已知平行四边形ABCD的周长为18，AC=$\sqrt{65}$，BD=$\sqrt{17}$，求平行四边形的面积．

Answer 1

分析 如图所示，设AB=x，则BC=9-x．设∠DAB=α．在△ABD与△ABC中，由余弦定理可得：BD²=（9-x）²+x²-2x（9-x）cosα，AC²=（9-x）²+x²-2x（9-x）cos（π-α），联立消去α，解出x，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
设AB=x，则BC=9-x．设∠DAB=α．
在△ABD与△ABC中，由余弦定理可得：
BD²=（9-x）²+x²-2x（9-x）cosα，AC²=（9-x）²+x²-2x（9-x）cos（π-α），
∴17+65=2（9-x）²+2x²，
化为x²-9x+20=0．
解得x=4或5，
不妨设AB=5，BC=4，
∴cosα=$\frac{{5}^{2}+{4}^{2}-17}{2×5×4}$=$\frac{3}{5}$，
∴$sinα=\frac{4}{5}$．
∴平行四边形的面积S=$5×4×\frac{4}{5}$=16．

点评 本题考查了平行四边形的性质、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．