Question

5．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC=4，则此棱锥的体积为（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$
• D． $4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意，利用截面圆的性质即可求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离，即可计算出三棱锥的体积．

解答 解：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以△ABC外接圆的半径$r=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
所以点O到平面ABC的距离$d=\sqrt{{R^2}-{r^2}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为$2d=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，
此棱锥的体积为$V=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}×2d$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{{4\sqrt{6}}}{3}=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，
故选A．

点评 本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．