题目内容
7．已知函数f（x）=ax2+2bx，g（x）=b+lnx（a∈[-1，2]，b∈R，b≠0）．（Ⅰ）求命题A：“?x∈R，对于?m∈R+，f（x）=m”为真命题的概率；
（Ⅱ）若a∈Z，b∈{-2，-1，1，2}，写出所有的数对（a，b）．设函数φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），x≤1\\ g（x），x＞1\end{array}$记“?x1，x2∈（-∞，+∞），x1≠x2，$\frac{{φ（{x_1}）-φ（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0”为事件B，求事件B发生的概率P（B）．
分析 （Ⅰ）当a＜0时，命题A为假命题，若命题A为真命题，必有a≥0，利用几何概型求得概率．
（Ⅱ）先得出所有可能的数对，再根据函数得单调性得到所以要使事件B发生，只需f（1）≤g（1）继而得出结论．
解答 解：（Ⅰ）当a＜0时，命题A为假命题，若命题A为真命题，必有a≥0，
∵-1＜a＜3，由几何概型知识可得命题A为真命题的概率为P（A）=$\frac{2}{3}$
（Ⅱ）所有可能的数对（a，b）为（-1，-2）（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（0，-2）（0，-1），
（0，1），（0，2），（1，-2），（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，2），共有16个．
因为x＞1时，φ（x）=g（x）=b+lnx在区间（1，+∞）上是增函数，
所以?x1，x2∈[1，+∞），x1≠x2，$\frac{φ（{x}_{1}）-φ（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$成立，所以要使事件B发生，只需f（1）≤g（1）
即a+b≤0，满足条件的数对（a，b）为（-1，-2）（-1，-1），（-1，1），），（0，-2）（0，-1），（1，-2），（1，-1），（2，-2），共8个．
所以由古典概型知识可得P（B）=$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$．
点评 本题主要考查古典概型和几何概型，属简单题型，高考时有考查．
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世纪百通期末金卷系列答案
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15．
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