Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{3a-c}{b}$．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若b=4$\sqrt{2}$，a=c，求sin（A+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{3sinA-sinC}{sinB}$，化为sinA=3sinAcosB．即可解出．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，由于b=4$\sqrt{2}$，a=c，cosB=$\frac{1}{3}$．可得a²．利用余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，$sinA=\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{3sinA-sinC}{sinB}$，化为sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
∴sin（B+C）=3sinAcosB．
又B+C=π-A，∴sinA=3sinAcosB．
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
∵将b=4$\sqrt{2}$，a=c，cosB=$\frac{1}{3}$．
∴a²=24．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$sinA=\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴$sin（A+\frac{π}{6}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、两角和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．