题目内容

9.已知△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+$\frac{1}{2}$c=b.
(1)求角A的大小;
(2)若b2-c2=$\frac{1}{2}$a2,求sinB•cosC的值;
(3)若7c2-7b2=5a2,求$\frac{b}{c}$的值.

分析 (1)利用余弦定理把cosC代入,再利用余弦定理即可得出;
(2)由b2-c2=$\frac{1}{2}$a2,利用正弦定理可得:$si{n}^{2}B-si{n}^{2}C=\frac{1}{2}si{n}^{2}A$=$\frac{3}{8}$,又acosC+$\frac{1}{2}$c=b,可得$\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC=sinB$,可得:$\frac{1}{2}$sinCcosC=$\frac{\sqrt{3}}{8}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2C-$\frac{\sqrt{3}}{4}co{s}^{2}C$,代入sinB•cosC,化简整理即可得出.
(3)利用(1)的结论a2=b2+c2-bc,代入即可得出;

解答 解:(1)∵acosC+$\frac{1}{2}$c=b.
∴$a×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$\frac{1}{2}c$=b,化为c2+b2-a2=bc.
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$,
∵A∈(0,π),
∴A=$\frac{π}{3}$.
(2)∵b2-c2=$\frac{1}{2}$a2,利用正弦定理可得:$si{n}^{2}B-si{n}^{2}C=\frac{1}{2}si{n}^{2}A$=$\frac{1}{2}×(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}$=$\frac{3}{8}$,(*)
又acosC+$\frac{1}{2}$c=b,∴$\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC=sinB$,
代入(*)可得:$\frac{1}{2}$sinCcosC=$\frac{\sqrt{3}}{8}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2C-$\frac{\sqrt{3}}{4}co{s}^{2}C$,
∴sinB•cosC=$(\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC)$•cosC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}co{s}^{2}C$+$\frac{1}{2}sinCcosC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}co{s}^{2}C$+$\frac{\sqrt{3}}{8}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2C-$\frac{\sqrt{3}}{4}co{s}^{2}C$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$.
(3)由(1)可得:a2=b2+c2-bc,
代入7c2-7b2=5a2
∴7c2-7b2=5(b2+c2-bc),
化为$12(\frac{b}{c})^{2}$-$5×\frac{b}{c}$-2=0,
解得$\frac{b}{c}$=$\frac{3}{2}$.

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数恒等变形,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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