题目内容

19．已知在等比数列{an}中，a1+a3=10，a2+a4=20，设cn=11-log2a2n．
（1）求数列{cn}的通项；
（2）求数列{cn}前n项和Sn的最大值．

分析 （1）设等比数列{an}的公比是q，根据题意和等比数列的通项公式列出方程组，求出q和a1，代入等比数列的通项公式求出an，代入cn=11-log2a2n化简即可；
（2）由cn的式子特点判断出数列{cn}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式和二次函数的性质求出Sn的最大值．

解答 解：（1）设等比数列{an}的公比是q，
∵a1+a3=10，a2+a4=20，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=10}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\end{array}\right.$，
解得a1=2，q=2，∴an=2•2n-1=2n，
∴cn=11-log2a2n=11-2n；
（2）由（1）得，cn=11-2n，
∴数列{cn}是以9为首项、-2为公差的等差数列，
∴Sn=$\frac{n（9+11-2n）}{2}$=-n2+10n=-（n-5）2+25，
则当n=5时，Sn取最大值，且最大值是25．

点评 本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及利用二次函数的性质求数列前n项和的最值，属于中档题．

练习册系列答案
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