Question

19．圆x²+y²-4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=90°，求c的值．

Answer 1

分析 因为圆与y轴交于A，B两点，令x=0求出圆与y轴的交点坐标，分别表示出直线PA和直线PB的斜率，因为PA与PB垂直得到斜率乘积等于-1，得到方程求出c即可．

解答 解：在圆的方程中令x=0得到y²+2y+c=0，解得y=-1±$\sqrt{1-c}$．
且圆的方程变为：（x-2）²+（y+1）²=5-c，
圆心坐标为（2，-1），设A在B的上边，
则A（0，-1+$\sqrt{1-c}$），B（0，-1-$\sqrt{1-c}$）
则直线PA的斜率k₁为-$\frac{\sqrt{1-c}}{2}$，直线PB的斜率k₂为$\frac{\sqrt{1-c}}{2}$，
因为∠APB=90°，所以PA⊥PB得k₁•k₂=-1；
即-$\frac{\sqrt{1-c}}{2}$•$\frac{\sqrt{1-c}}{2}$=-1；
解得c=-3．

点评 考查学生综合运用直线与圆方程的能力，以及两直线垂直时斜率乘积为-1的应用，属于中档题．