Question

16．已知函数f（x）=|x-2|+1，g（x）=log_a（x+1）（a＞0，且a≠1），若函数f（x）-g（x）有两个不相同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （1，3）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 作出两个函数的图象，结合对数函数的单调性，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：若函数f（x）-g（x）有两个不相同的零点，
则等价为f（x）-g（x）=0有两个不相同的根，
即函数f（x）与g（x）有两个不相同的交点，
作出两个函数的图象如图：
则函数f（x）的最小值为1即A（2，1），
若0＜a＜1，则函数f（x）与g（x）有1个不相同的交点，不满足条件．
若a＞1，要使函数f（x）与g（x）有两个不相同的交点，
则点A在g（x）的下方，
即g（2）＞1，即g（2）=log_a3＞1，
解得1＜a＜3，
故实数a的取值范围是（1，3），
故选：C．

点评 本题主要考查函数交点个数的判断以及对数函数的单调性，利用数形结合是解决本题的关键．注意要对a进行讨论．