题目内容

16.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,DD1=AD=2,A1B1=1,C1E∥平面ADD1A1
(Ⅰ)证明:E为AB的中点;
(Ⅱ)求点E到平面ADC1的距离.

分析 (Ⅰ)连接AD1,则D1C1∥DC∥AB,证明四边形AEC1D1为平行四边形,即可证明:E为AB的中点;
(Ⅱ)利用等体积法求点E到平面ADC1的距离.

解答 (Ⅰ)证明:连接AD1,则D1C1∥DC∥AB,
∴A、E、C1、D1四点共面,
∵C1E∥平面ADD1A1,则C1E∥AD1
∴AEC1D1为平行四边形,
∴AE=D1C1=1,∴E为AB的中点.(6分)
(Ⅱ)解:V${\;}_{{C}_{1}}$-ADE=$\frac{1}{3}$DD1×$\frac{1}{2}$AE×AD=$\frac{1}{3}$×2×$\frac{1}{2}$×2×1=$\frac{2}{3}$,DC1=$\sqrt{5}$,
∵AD⊥DC,AD⊥DD1,∴AD⊥平面DCC1D1,AD⊥DC1
设点E到平面ADC1的距离为h,
则V${\;}_{{c}_{1}}$-ADE=$\frac{2}{3}$=VE-AD${\;}_{{c}_{1}}$=$\frac{1}{3}$h×$\frac{1}{2}$AD×DC1=$\frac{\sqrt{5}}{3}$h,解得h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.(13分)

点评 本题考查线面平行的性质,考查点E到平面ADC1的距离,考查学生分析解决问题的能力,正确运用等体积转化是关键.

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